Question

18．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中E，G，H分別為BC，C₁D₁，AA₁的中點．
（ 1）求證：EG∥平面BDD₁B₁；
（ 2）求異面直線B₁H與 EG所成的角．

Answer 1

分析 （1）線面平行轉(zhuǎn)化為證明線線平面，連結(jié)AC交BD于O連結(jié)DO，OE，E，G，H分別為BC，C₁D₁，AA₁的中點，可證四邊形OEGD₁為平行四邊形，可得EG∥平面BDD₁B₁
（2）找到異面直線的平面角，延長DB于M，連結(jié)B₁M，HM，∠HB₁M為所求角，利用余弦定理可得角的大�。�

解答 解：（1）證明：ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，E，G，H分別為BC，C₁D₁，AA₁的中點，
連結(jié)AC交BD于O連結(jié)DO，OE，
∵$OE\underline{\underline∥}\frac{1}{2}CD，OD\underline{\underline∥}{D_1}G$
∴四邊形OEGD₁為平行四邊形
∴EG∥OD₁，又EG?面BDD₁B₁，OD₁?面BDD₁B₁，
∴EG∥平面BDD₁B₁．
（2）延長DB于M，使$BM=\frac{1}{2}BD$，
連結(jié)B₁M，HM，∠HB₁M為所求角．
設(shè)正方體邊長為1，則${B_1}M=\frac{{\sqrt{6}}}{2}，{B_1}H=\frac{{\sqrt{5}}}{2}，AM=\frac{{\sqrt{10}}}{2}，HM=\frac{{\sqrt{11}}}{2}$，
∴cos∠HB₁M=0，
∴B₁H與EG所成的角為90°．

點評 本題考查了線面平行的證明，只需要證明這條直線平行于平面內(nèi)的一條直線即可．異面直線的角，要找到它們在同一個平面的角，通過平移，中位線，延長相交等求解．屬于基礎(chǔ)題．