Question

20．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是AB，BB₁的中點，AA₁=AC=CB=2，AB=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）證明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求銳二面角D-A₁C-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AC₁，交A₁C于點O，連結(jié)DO，證明OD∥BC₁，然后證明BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）由以C為坐標(biāo)原點，$\overrightarrow{CA}$方向為x軸正方向，$\overrightarrow{CB}$方向為y軸正方向，$\overrightarrow{C{C_1}}$方向為z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，平面A₁CD的法向量，平面A₁CE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．

解答 解：（Ⅰ）連結(jié)AC₁，交A₁C于點O，連結(jié)DO，則O為AC₁的中點，因為D為AB的中點，所以O(shè)D∥BC₁，又因為OD?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，∴BC₁∥平面A₁CD…（4分）
（Ⅱ）由$A{A_1}=AC=CB=2，AB=2\sqrt{2}$，可知AC⊥BC，以C為坐標(biāo)原點，$\overrightarrow{CA}$方向為x軸正方向，$\overrightarrow{CB}$方向為y軸正方向，$\overrightarrow{C{C_1}}$方向為z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，
則D（1，1，0），E（0，2，1），A₁（2，0，2），$\overrightarrow{CD}=（{1，1，0}）$，$\overrightarrow{CE}=（{0，2，1}）$，$\overrightarrow{C{A_1}}=（{2，0，2}）$
設(shè)$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$是平面A₁CD的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{CD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{C{A_1}}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ 2x+2z=0\end{array}\right.$
可取$\overrightarrow n=（{1，-1，-1}）$．…（6分）
同理，設(shè)$\overrightarrow m$是平面A₁CE的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{CE}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{C{A_1}}=0\end{array}\right.$，
可取$\overrightarrow m=（{2，1，-2}）$．…（8分）
從而$cos?\overrightarrow n，\overrightarrow m＞=\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow m}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（10分）
所以銳二面角D-A₁C-E的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

點評 本題考查空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查計算能力．