Question

【題目】已知曲線C1： (t為參數(shù))曲線C2：＋y2＝4．

(1)在同一平面直角坐標系中，將曲線C2上的點按坐標變換后得到曲線C′。求曲線C′的普通方程，并寫出它的參數(shù)方程；

(2)若C1上的點P對應的參數(shù)為t＝π/2，Q為C′上的動點，求PQ中點M到直線C3： (t為參數(shù))的距離的最小值

Answer 1

【答案】（1）x2＋y2＝4， ；（2）.

【解析】試題分析：(1)直接根據(jù)坐標變換公式可得曲線C′的方程；(2) 曲線C′的方程的方程化為參數(shù)方程，根據(jù)參數(shù)方程可設M(-2+cosθ，2+sinθ)，直線參數(shù)方程化為普通方程，利用點到直線的距離公式結合輔助角公式及三角函數(shù)的有界性可得結果.

試題解析:（1） 由得到①

將①代入＋y2＝4，得＋y′2＝4，即x′2＋y′2＝4.

因此橢圓＋y2＝4經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是x2＋y2＝4.

它的參數(shù)方程為

當t=π/2時，P（-4,4），Q（2cosθ,2sinθ）,故M(-2+cosθ，2+sinθ)

曲線C3：為直線x-2y+8=0,

M到C3的距離d=|(-2+cosθ)-2(2+sinθ)+8|=|cosθ-2sinθ+2|=|cos(θ+α)+2|

從而tanα=2時d的最小值為|-+2|=.