Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC₁上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是______（寫出所有正確命題的編號）．
①當(dāng)0＜CQ＜

1

2

時(shí)，S為四邊形
②當(dāng)CQ=

1

2

時(shí)，S為等腰梯形
③當(dāng)CQ=

3

4

時(shí)，S與C₁D₁的交點(diǎn)R滿足C₁R=

1

3

④當(dāng)

3

4

＜CQ＜1時(shí)，S為六邊形
⑤當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為

6

2

．

Answer 1

如圖
當(dāng)CQ=

1

2

時(shí)，即Q為CC₁中點(diǎn)，此時(shí)可得PQ∥AD₁，AP=QD₁=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
故可得截面APQD₁為等腰梯形，故②正確；
由上圖當(dāng)點(diǎn)Q向C移動時(shí)，滿足0＜CQ＜

1

2

，只需在DD₁上取點(diǎn)M滿足AM∥PQ，
即可得截面為四邊形APQM，故①正確；
③當(dāng)CQ=

3

4

時(shí)，如圖，
延長DD₁至N，使D₁N=

1

2

，連接AN交A₁D₁于S，連接NQ交C₁D₁于R，連接SR，
可證AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，故可得C₁R=

1

3

，故正確；
④由③可知當(dāng)

3

4

＜CQ＜1時(shí)，只需點(diǎn)Q上移即可，此時(shí)的截面形狀仍然上圖所示的APQRS，顯然為五邊形，故錯(cuò)誤；
⑤當(dāng)CQ=1時(shí)，Q與C₁重合，取A₁D₁的中點(diǎn)F，連接AF，可證PC₁∥AF，且PC₁=AF，
可知截面為APC₁F為菱形，故其面積為

1

2

AC₁•PF=

1

2

•

3

•

2

=

6

2

，故正確．
故答案為：①②③⑤