Question

某高校數(shù)學(xué)系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負責(zé)，已知該系共有位學(xué)生，每次活動均需該系位學(xué)生參加（和都是固定的正整數(shù)）.假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給該系位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到.記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學(xué)生人數(shù)為
（Ⅰ）求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；
（Ⅱ）求使取得最大值的整數(shù).

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

本題是概率壓軸題，難度大，文字多，考生不一定能夠有時間去讀懂，不僅如此還考查到了分類討論思想，難度更高一層，但細細想來，它也就那回事.第（1）題該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息要從反面角度去思考，沒有收到信息的概率是什么，由于A和B是相互獨立，，沒有收到信息的概率正好是，所以最后的結(jié)果就能求出；第（2）題考查的考點比較多，而且和都是變量，遇到變量就要做好討論的準備，于是本題要從和兩個角度考慮.當(dāng)時，，；當(dāng)時，整數(shù)滿足，其中是和中的較小者，從而表示出，接著要根據(jù)題意找出不等關(guān)系：，化簡分離出，而是否為整數(shù)，需要討論，還需要考慮是否成立的問題，于是，接下來一方面需要討論是否為整，另一方面要證明，詳細的解答如下.
設(shè)事件A：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”，事件B：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”，由題意A和B是相互獨立的事件，則與 相互獨立，
而
所以
因此，學(xué)生甲收到活動通知信息的概率為
.
當(dāng)時，只能取，有
當(dāng)，整數(shù)滿足，其中是和中的較小者.“李老師和張老師各自獨立、隨機地發(fā)活動通知信息給位同學(xué)”所包含的基本事件總數(shù)為.
當(dāng)時，同時收到李老師和張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)恰為，僅收到李老師或僅收到張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為，則由乘法計數(shù)原理知：事件所含基本事件數(shù)為
此時
當(dāng)，
化簡解得
假如成立，
則當(dāng)能被整除時，
，故在和處達到最大值；
則當(dāng)不能被整除時，在處達最大值.（注：表示不超過的最大整數(shù)）.
下證：
因為，所以，
，故，顯然.
因此.
【考點定位】考查古典概型，計數(shù)原理，分類討論思想等基礎(chǔ)知識.，以及運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力.