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18.已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1B⊥平面ABC,∠ABC=90°,B1B=AB=2BC=4,D、E分別是B1C1,A1A的中點(diǎn).
(1)求證:A1D∥平面B1CE;
(2)設(shè)M是的中點(diǎn),N在棱AB上,且BN=1,P是棱AC上的動(dòng)點(diǎn),直線NP與平面MNC所成角為θ,試問(wèn):θ的正弦值存在最大值嗎?若存在,請(qǐng)求出APAC的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)法一(幾何法):連結(jié)BC1,與B1C交于點(diǎn)O,連結(jié)EO,DO,推導(dǎo)出四邊形A1EOD是平行四邊形,從而A1D∥EO,由此能證明A1D∥平面B1CE.
法二(向量法):建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,利用向量法能證明A1D∥平面B1CE.
(2)建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,利用向量法求出存在符合題意的點(diǎn)P,且APAC=38

解答 證明:(1)證法一(幾何法):
連結(jié)BC1,與B1C交于點(diǎn)O,連結(jié)EO,DO,
在△B1BC1中,DO=12B1B,
在四邊形B1BA1A中,A1E=12B1B,
∴A1E=DO,∴四邊形A1EOD是平行四邊形,∴A1D∥EO
∵A1D?平面B1CE,EO?平面B1CE,
∴A1D∥平面B1CE.
證法二(向量法):
如圖,建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,
由已知得A(4,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,4),C1(0,2,4),D(0,1,4),E(4,0,2),
A1D=(-4,1,0),B1C=(0,2,-4),B1E=(4,0,-2),
設(shè)平面B1CE的一個(gè)法向量n=(x,y,z),
{nB1C=y2z=0nB1E=2xz=0,取x=1,得n=(1,4,2),
A1Dn=-4+4=0,且A1D?平面B1CE,
∴A1D∥平面B1CE.
解:(2)設(shè)存在符合題意的點(diǎn)P.
如圖,建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,
由已知得A(4,0,0),C(0,2,0),M(2,0,3),N(1,0,0),
MN=(-1,0,-3),NC=(-1,2,0),AC=(-4,2,0),
設(shè)平面MNC的一個(gè)法向量m=(x,y,z),
{mMN=x3z=0mNC=x+2y=0,取x=6,得m=(6,3,-2),
設(shè)AP=λAC,(0≤λ≤1),則NP=NA+λAC=(3-4λ,2λ,0),
由題設(shè)得sinθ=|cos<NPm>|=|NPm||NP||m|=|634λ+6λ|4934λ2+4λ2=181λ720λ224λ2+9,
設(shè)t=1-λ(0≤λ≤1),則λ=1-t,且0≤t≤1,
∴sinθ=18t720t216t+5,
當(dāng)t=0時(shí),sinθ=0,
當(dāng)0<t≤1時(shí),sinθ=1875t216t+20=1871t852+36518765=357
∴當(dāng)且僅當(dāng)1t=85,即t=58時(shí),sinθ取得最大值357,此時(shí)λ=38
∴存在符合題意的點(diǎn)P,且APAC=38

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明,考查滿足條件的角的正弦值的最大值是否存在的判斷與求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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