分析 (1)法一(幾何法):連結(jié)BC1,與B1C交于點(diǎn)O,連結(jié)EO,DO,推導(dǎo)出四邊形A1EOD是平行四邊形,從而A1D∥EO,由此能證明A1D∥平面B1CE.
法二(向量法):建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,利用向量法能證明A1D∥平面B1CE.
(2)建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,利用向量法求出存在符合題意的點(diǎn)P,且APAC=38.
解答 證明:(1)證法一(幾何法):
連結(jié)BC1,與B1C交于點(diǎn)O,連結(jié)EO,DO,
在△B1BC1中,DO=∥12B1B,
在四邊形B1BA1A中,A1E=∥12B1B,
∴A1E=∥DO,∴四邊形A1EOD是平行四邊形,∴A1D∥EO
∵A1D?平面B1CE,EO?平面B1CE,
∴A1D∥平面B1CE.
證法二(向量法):
如圖,建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,
由已知得A(4,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,4),C1(0,2,4),D(0,1,4),E(4,0,2),
則→A1D=(-4,1,0),→B1C=(0,2,-4),→B1E=(4,0,-2),
設(shè)平面B1CE的一個(gè)法向量→n=(x,y,z),
則{→n•→B1C=y−2z=0→n•→B1E=2x−z=0,取x=1,得→n=(1,4,2),
∵→A1D•→n=-4+4=0,且A1D?平面B1CE,
∴A1D∥平面B1CE.
解:(2)設(shè)存在符合題意的點(diǎn)P.
如圖,建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,
由已知得A(4,0,0),C(0,2,0),M(2,0,3),N(1,0,0),
則→MN=(-1,0,-3),→NC=(-1,2,0),→AC=(-4,2,0),
設(shè)平面MNC的一個(gè)法向量→m=(x,y,z),
則{→m•→MN=−x−3z=0→m•→NC=−x+2y=0,取x=6,得→m=(6,3,-2),
設(shè)→AP=λ→AC,(0≤λ≤1),則→NP=→NA+λ→AC=(3-4λ,2λ,0),
由題設(shè)得sinθ=|cos<→NP,→m>|=|→NP•→m||→NP|•|→m|=|6(3−4λ)+6λ|√49•√(3−4λ)2+4λ2=18(1−λ)7√20λ2−24λ2+9,
設(shè)t=1-λ(0≤λ≤1),則λ=1-t,且0≤t≤1,
∴sinθ=18t7√20t2−16t+5,
當(dāng)t=0時(shí),sinθ=0,
當(dāng)0<t≤1時(shí),sinθ=187√5t2−16t+20=187√(1t−85)2+365≤187•6√5=3√57.
∴當(dāng)且僅當(dāng)1t=85,即t=58時(shí),sinθ取得最大值3√57,此時(shí)λ=38.
∴存在符合題意的點(diǎn)P,且APAC=38.
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明,考查滿足條件的角的正弦值的最大值是否存在的判斷與求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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A. | 27(8n-1) | B. | 27(8n+1-1) | C. | 27(8n+3-1) | D. | 27(8n+4-1) |
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A. | (0,1) | B. | [0,1] | C. | (-1,0) | D. | [-1,0] |
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A. | π6或5π6 | B. | π3或2π3 | C. | π6 | D. | π3 |
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