Question

直線kx-y=k+2和x-ky=k（k＞1）與y軸圍成的三角形的面積的最小值為（　　）

• A、3
• B、

  2 2 +3

  2

• C、

  5

  2

• D、

  2 +3

  2

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的面積公式

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：根據(jù)題意，兩條直線在y軸上的交點(diǎn)分別為A（0，-k-2）、B（0，-1），再求出兩條直線的交點(diǎn)為C（

k2+k

k2-1

，

-k2+k+2

k2-1

）．根據(jù)k＞1可得C的橫坐標(biāo)大于0，從而得出S_△ABC=

1

2

|AB|•x_C=

1

2

•

k2+k

k -1

，再由基本不等式算出

k2+k

k -1

的最小值為3+2

2

，即可得到當(dāng)k=

2

+1時(shí)S_△ABC有最小值

2 2 +3

2

，從而得到答案．

解答： 解：求得直線kx-y=k+2與y軸的交點(diǎn)為A（0，-k-2），
直線x-ky=k與y軸的交點(diǎn)為B（0，-1）
聯(lián)解

kx-y=k+2 x-ky=k

，得

x= k2+k k2-1 y= -k2+k+2 k2-1

，
∴直線kx-y=k+2和x-ky=k的交點(diǎn)為C（

k2+k

k2-1

，

-k2+k+2

k2-1

）．
∵k＞1，得x_C=

k2+k

k2-1

＞0．
∴S_△ABC=

1

2

|AB|•x_C=

1

2

×（k+1）×

k2+k

k2-1

=

1

2

•

k2+k

k -1

，
∵

k2+k

k -1

=

(k-1)2+3(k-1)+2

k -1

=（k-1）+

2

k -1

+3，
且（k-1）+

2

k -1

≥2

(k-1)• 2 k -1

=2

2

，
∴S_△ABC=

1

2

•

k2+k

k -1

≥

2 2 +3

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)k-1=

2

k -1

即k=

2

+1時(shí)，S_△ABC有最小值

2 2 +3

2

．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有參數(shù)的兩條直線，求它們與y軸圍成的三角形面積的最大值．著重考查了直線的方程、直線的位置關(guān)系、坐標(biāo)系中三角形面積的求法與利用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．