Question

已知點(diǎn)P在橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上，求點(diǎn)P到直線l：x+2y+15=0的最大值、最小值及P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：利用橢圓的參數(shù)方程可以設(shè)P（3sinx，2cosx），利用三角函數(shù)求最大值、最小值．

解答： 解：設(shè)x=3sinx，y=2cosx，則點(diǎn)p（x，y）到直線l：x+2y+15=0的距離
d=

|3sinx+4cosx+15|

12+22

=

|5sin(x+θ)+15|

5

，（tanθ=

4

3

），
∴當(dāng)sin（x+θ）=1時(shí)，d有最大值為4

5

，
此時(shí)由

sin(x+θ)=1 tanθ= 4 3

得

sinx= 3 5 cosx= 4 5

∴P（

9

5

，

8

5

）．
當(dāng)sin（x+θ）=-1時(shí)，d有最小值為2

5

，
此時(shí)由

sin(x+θ)=-1 tanθ= 4 3

得

sinx=- 3 5 cosx=- 4 5

，∴p（-

9

5

，-

8

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的參數(shù)方程及距離公式，考查三角函數(shù)的變換求最值的方法，屬于中檔題．