Question

1．設(shè)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x|x|．
（1）求g（x）在x=-1處的切線方程；
（2）令F（x）=x•f（x）-g（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若任意x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＞x₂，都有m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算g（-1），g′（-1），求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)F（x）的單調(diào)性即可；
（3）已知可轉(zhuǎn)化為x₁＞x₂≥1時(shí)，mg（x₁）-x₁f（x₁）≥mg（x₂）-x₂f（x₂）恒成立，令h（x）=mg（x）-xf（x）=$\frac{m}{2}$x²-xlnx，則h（x）為單調(diào)遞增的函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）x＜0時(shí)，g（x）=-$\frac{1}{2}$x²，g′（x）=-x，
故g（-1）=-$\frac{1}{2}$，g′（-1）=1，
故切線方程是：y+$\frac{1}{2}$=（x+1），
即x-y+$\frac{1}{2}$=0；
（2）F（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x|x|=xlnx-$\frac{1}{2}$x²，（x＞0），
F′（x）=lnx-x+1，F(xiàn)″（x）=$\frac{1}{x}$-1，
令F″（x）＞0，解得：0＜x＜1，令F″（x）＜0，解得：x＞1，
故F′（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
故F′（x）≤F′（1）=0，
故F（x）在（0，+∞）遞減；
（3）已知可轉(zhuǎn)化為x₁＞x₂≥1時(shí)，mg（x₁）-x₁f（x₁）≥mg（x₂）-x₂f（x₂）恒成立，
令h（x）=mg（x）-xf（x）=$\frac{m}{2}$x²-xlnx，則h（x）為單調(diào)遞增的函數(shù)，
故h′（x）=mx-lnx-1≥0恒成立，即m≥$\frac{lnx+1}{x}$恒成立，
令m（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，則m′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，m′（x）≤0，m（x）單調(diào)遞減，
m（x）≤m（1）=1，
故m≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．