Question

1．如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過(guò)直線EF的平面分別與棱BB′，DD′交于M，N，設(shè)BM=x，x∈（0，1），給出以下命題：
①四邊形MENF為平行四邊形；
②若四邊形MENF面積s=f（x），x∈（0，1），則f（x）有最小值；
③若四棱錐A-MENF的體積V=P（x），x∈（0，1），則P（x）為常函數(shù)；
④若多面體ABCD-MENF的體積V=h（x），x∈（0，$\frac{1}{2}$），則h（x）為單調(diào)函數(shù)；
⑤當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，四邊形MENF為正方形．
其中假命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)已知中正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E、F分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過(guò)直線E，F(xiàn)的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N，設(shè)BM=x，x∈（0，1），逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：對(duì)于①，∵平面ADD′A′∥平面BCC′B′，∴EN∥MF，同理：FN∥EM，∴四邊形EMFN為平行四邊形，故正確；
對(duì)于②，MENF的面積s=f（x）=$\frac{1}{2}$（EF×MN），當(dāng)M為BB′的中點(diǎn)時(shí)，即x=$\frac{1}{2}$時(shí)，MN最短，此時(shí)面積最�。�故正確；
對(duì)于③，連結(jié)AF，AM，AN，則四棱錐則分割為兩個(gè)小三棱錐，

它們以AEF為底，以M，N分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐．因?yàn)槿�角形AEF的面積是個(gè)常數(shù)．M，N到平面AEF的距離和是個(gè)常數(shù)，所以四棱錐C'-MENF的體積V為常數(shù)函數(shù)，故正確．
對(duì)于④，多面體ABCD-MENF的體積V=h（x）=$\frac{1}{2}$V_{ABCD-A′B′C′D′}=$\frac{1}{2}$為常數(shù)函數(shù)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，四邊形MENF為正方形．正確；
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間立體幾何中的面面垂直關(guān)系以及空間幾何體的體積公式，本題巧妙的把立體幾何問(wèn)題和函數(shù)進(jìn)行的有機(jī)的結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，設(shè)計(jì)巧妙，對(duì)學(xué)生的解題能力要求較高．屬于中檔題．