Question

11．已知$0＜α＜\frac{π}{2}$，$-\frac{π}{2}＜β＜0$，$cos（{\frac{π}{4}+α}）=\frac{1}{3}$，$cos（{\frac{π}{4}-β}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$則cos（α+β）=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 根據(jù)α、β的取值范圍和同角三角函數(shù)的求值得到sin（$\frac{π}{4}$+α）、sin（$\frac{π}{4}$-β）的值，然后由兩角和與差的余弦公式求得cos（α+β）的值．

解答 解：∵$0＜α＜\frac{π}{2}$，$-\frac{π}{2}＜β＜0$，
∴$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{4}$+α＜$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{4}$-β＜$\frac{3π}{4}$，
∴由$cos（{\frac{π}{4}+α}）=\frac{1}{3}$，$cos（{\frac{π}{4}-β}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$得到：sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$、sin（$\frac{π}{4}$-β）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cos（α+β）=cos[（$\frac{π}{4}$+α）-（$\frac{π}{4}$-β）]=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．
故答案是：$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)的應用，考查計算能力．