Question

3．在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：x²+y²=4和點P（-1，0），過點P的直線l交圓O于A、B兩點
（1）若|AB|=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（2）設弦AB的中點為M，求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=-1，求出A，B坐標，然后求解|AB|=2$\sqrt{3}$．當直線l的斜率存在時，設其方程為y-1=k（x+1）即kx-y+1+k=0．利用圓心到直線的距離，轉化求解直線方程．
（2）利用$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{OM}=0$，設M（x，y） 則$\overrightarrow{PM}$=（x+1，y-1），$\overrightarrow{OM}$=（x，y），化簡求解即可．

解答 解：（1）當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=-1，此時A（-1，$\sqrt{3}$），B（-1，-$\sqrt{3}$），
滿足|AB|=2$\sqrt{3}$，（2分）
當直線l的斜率存在時，設其方程為y-1=k（x+1）即kx-y+1+k=0．
圓心O到直線l的距離為：d=$\frac{|1+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
由d²+（$\sqrt{3}$）²=4得：d=1，k=0   此時直線l的方程為：y=1．
∴所求直線l的方程為：x=-1或y=1．（6分）
（2）由圓的性質(zhì)知：PM⊥OM，∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{OM}=0$，（9分）
設M（x，y） 則$\overrightarrow{PM}$=（x+1，y-1），$\overrightarrow{OM}$=（x，y）      
$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{OM}$=x（x+1）+y（y-1）=x²+y²+x-y=0
∴點M的軌跡方程為：x²+y²+x-y=0．（12分）

點評 本題考查軌跡方程的求法，直線與圓的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力．