Question

3．定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M≥0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的一個上界．已知函數(shù)f（x）=1+a（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x，若函數(shù)f（x）在[-2，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 利用定義得到|f（x）|≤3在[-2，1]上恒成立．化簡為$-4•{2^x}-{（{\frac{1}{2}}）^x}≤a≤2•{2^x}-{（{\frac{1}{2}}）^x}$在[-2，1]上恒成立．
設(shè)2^x=t，$h（t）=-4t-\frac{1}{t}$，$p（t）=2t-\frac{1}{t}$，求解不等式兩端函數(shù)的最值，即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意知，|f（x）|≤3在[-2，1]上恒成立．
所以-3≤f（x）≤3，即$-4-{（{\frac{1}{4}}）^x}≤a{（{\frac{1}{2}}）^x}≤2-{（{\frac{1}{4}}）^x}$．
∴$-4•{2^x}-{（{\frac{1}{2}}）^x}≤a≤2•{2^x}-{（{\frac{1}{2}}）^x}$在[-2，1]上恒成立．
∴${[{-4•{2^x}-{{（{\frac{1}{2}}）}^x}}]_{max}}≤a≤{[{2•{2^x}-{{（{\frac{1}{2}}）}^x}}]_{min}}$…（4分）
設(shè)2^x=t，$h（t）=-4t-\frac{1}{t}$，$p（t）=2t-\frac{1}{t}$，由x∈[-2，1]得$t∈[\frac{1}{4}，2]$，…（6分）
則h（t）在$t∈[\frac{1}{4}，2]$上的最大值為$h（\frac{1}{2}）=-4$，…（9分）
p（t）在$t∈[\frac{1}{4}，2]$上的最小值為$p（\frac{1}{4}）=-\frac{7}{2}$．…（11分）
所以實數(shù)a的取值范圍為$[-4，-\frac{7}{2}]$．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)恒成立，函數(shù)的最值的求法，換元法的應(yīng)用，考查計算能力．