Question

11．設$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是平面上的三個單位向量，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，則（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）的最小值是（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． -$\sqrt{3}$
• D． 0

Answer 1

分析 由題意可得（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=-$\overrightarrow{c}$（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）≥-$\sqrt{3}$當且僅當$\overrightarrow{c}$與（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）方向相同時，取等號，問題得以解決．

解答 解：$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是平面上的三個單位向量，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，
則（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow$-${\overrightarrow{c}}^{2}$=2×$\frac{1}{2}$-$\overrightarrow{c}$（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）-1=-$\overrightarrow{c}$（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）≥-1•$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，當且僅當$\overrightarrow{c}$與（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）方向相同時，取等號，
故選：C

點評 本題主要考查兩個向量垂直的性質，兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎題．