【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣2ax+b(a>0)在區(qū)間[﹣1,4]上有最大值10和最小值1.設g(x)=
(1)求a、b的值;
(2)證明:函數(shù)g(x)在[ ,+∞)上是增函數(shù);
(3)若不等式g(2x)﹣k2x≥0在x∈[﹣1,1]上有解,求實數(shù)k的取值范圍.

【答案】
(1)解:f(x)=a(x﹣1)2﹣a+b,(a>0),

因為a>0,故 ,解得


(2)證明:由已知可得g(x)=x+ ﹣2,設 ≤x1<x2,

∵g(x1)﹣g(x2)=(x1﹣x2)(1﹣ )=

≤x1<x2,∴x1﹣x2<0,2<x1x2,即x1x2﹣2>0.

∴g(x1)﹣g(x2)<0,即g(x1)<g(x2).

所以函數(shù)g(x)在[ ,+∞)上是增函數(shù)


(3)解:g(2x)﹣k2x≥0可化為2x+ ﹣2≥k2x,

化為1+2 ﹣2 ≥k,

令t= ,則k≤2t2﹣2t+1,

因x∈[﹣1,1],故t∈[ ,2],

記h(t)=2t2﹣2t+1,因為t∈[ ,2],故h(t)max=5,

所以k的取值范圍是(﹣∞,5]


【解析】(1)根據(jù)函數(shù)的對稱軸得到關于a的方程組,解出即可;(2)先求出g(x)的表達式,根據(jù)定義證明函數(shù)的單調性即可;(3)問題轉化為1+2 ﹣2 ≥k,令t= ,則k≤2t2﹣2t+1,構造新函數(shù),結合函數(shù)的單調性從而求出k的范圍即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)單調性的判斷方法的相關知識,掌握單調性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較,以及對二次函數(shù)的性質的理解,了解當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.

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【題目】已知圓C的圓心在坐標原點,且與直線l1:x﹣y﹣2 =0相切 (Ⅰ)求直線l2:4x﹣3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長.
(Ⅱ)過點G(1,3)作兩條與圓C相切的直線,切點分別為M,N,求直線MN的方程
(Ⅲ) 若與直線l1垂直的直線l與圓C交于不同的兩點P,Q,若∠POQ為鈍角,求直線l縱截距的取值范圍.

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①若f(x)=ax2+(2a+b)x+2(其中x∈[﹣1,a])是偶函數(shù),則實數(shù)b=﹣2;
②f(x)= + 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù);
③若f(x+2)= ,當x∈(0,2)時,f(x)=2x , 則f(2015)=2;
④已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對任意的x,y∈R都滿足f(xy)=xf(y)+yf(x),則f(x)是奇函數(shù).其中所有正確命題的序號是

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【題目】某數(shù)學教師對所任教的兩個班級各抽取20名學生進行測試,分數(shù)分布如表:

分數(shù)區(qū)間

甲班頻率

乙班頻率

[0,30)

0.1

0.2

[30,60)

0.2

0.2

[60,90)

0.3

0.3

[90,120)

0.2

0.2

[120,150)

0.2

0.1

(Ⅰ)若成績120分以上(含120分)為優(yōu)秀,求從乙班參加測試的90分以上(含90分)的同學中,隨機任取2名同學,恰有1人為優(yōu)秀的概率;
(Ⅱ)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表:在犯錯概率小于0.1的前提下,你是否有足夠的把握認為學生的數(shù)學成績是否優(yōu)秀與班級有關系?

優(yōu)秀

不優(yōu)秀

總計

甲班

乙班

總計

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

P(K2≥k0

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

,其中n=a+b+c+d.

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