Question

（2009•閘北區(qū)二模）設f(x)=

a-2x

1+2x

，其中實常數a≥-1．
（Ⅰ）求函數f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ）試研究函數f（x）的基本性質，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數的解析式易得定義域為R，由于a的取值范圍不同，函數的值域形式不同，要分a=-1，a＞-1兩種情況研究函數值域；
（II）函數的性質主要是批函數的單調性，奇偶性，根據函數的解析式，先判斷出性質再依據定義證明即可．

解答：解：（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=-1，定義域為R 
當a＞-1時，由于1+2^x＞0恒成立，所以函數f（x）的定義域為R
又f(x)=

a+1-1-2x

1+2x

=-1+

a+1

1+2x

，
當a＞-1時，因為2^x＞0，所以2^x+1＞1，
0＜

a+1

1+2x

＜a+1，從而-1＜f（x）＜a，
所以函數f（x）的值域為（-1，a）．
綜上，當a=-1時，函數值為-1；當a＞-1時，函數值域是（-1，a）． 
（Ⅱ）假設函數f（x）是奇函數，則，對于任意的x∈R，有f（-x）=-f（x）成立，
即

a-2-x

1+2-x

=-

a-2x

1+2x

化簡得（a-1）（1+2^x）=0得a=1
∴當a=1時，函數f（x）是奇函數．
當a＞-1，且a≠1時，函數f（x）是非奇非偶函數．
∵對于任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，a＞-1
有f(x1)-f(x2)=

(a+1)2x1(2x2-x1-1)

(1+2x1)(1+2x2)

≥0
當a＞-1時，函數f（x）是遞減函數．

點評：本題研究一個與指數有關的性質的研究，涉及到了函數的定義域值域單調性奇偶性，解題的關鍵理解函數的性質，且能掌握函數性質的證明方法，本題求值域時對函數解析式分離常數是重點，研究函數奇偶性時，對參數的取值范圍進行討論是本題的難點．