【題目】如圖,已知點是橢圓上的任意一點,直線與橢圓交于,兩點,直線,的斜率都存在.
(1)若直線過原點,求證:為定值;
(2)若直線不過原點,且,試探究是否為定值.
【答案】(1)見解析(2),詳見解析
【解析】
(1)設(shè),,由橢圓對稱性得,把點,的坐標都代入橢圓得到兩個方程,再相減,得到兩直線斜率乘積的表達式;
(2)設(shè),,,則,由得:,進而得到直線的方程,再與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理得到坐標之間的關(guān)系,最后整體代入消元,得到為定值.
(1)當(dāng)過原點時,設(shè),,由橢圓對稱性得,
則.
∵,都在橢圓上,∴,,
兩式相減得:,即.
故.
(2)設(shè),,,則,∵,
∴,設(shè)直線的方程為(),
聯(lián)立方程組消去,
整理得.
∵在橢圓上,∴,
上式可化為.
∴,,
∴,
,
,
∴
;
.
∴(定值).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某中學(xué)甲、乙兩班各隨機抽取 名同學(xué),測量他們的身高(單位: ),所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下,由此可估計甲、乙兩班同學(xué)的身高情況,則下列結(jié)論正確的是( )
A. 甲班同學(xué)身高的方差較大 B. 甲班同學(xué)身高的平均值較大
C. 甲班同學(xué)身高的中位數(shù)較大 D. 甲班同學(xué)身高在 以上的人數(shù)較多
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)面是邊長為2的正方形,點是棱的中點.
(1)證明:平面.
(2)若三棱錐的體積為4,求點到平面的距離.
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【題目】羽毛球比賽中采用每球得分制,即每回合中勝方得1分,負方得0分,每回合由上回合的勝方發(fā)球.設(shè)在甲、乙的比賽中,每回合發(fā)球,發(fā)球方得1分的概率為0.6,各回合發(fā)球的勝負結(jié)果相互獨立.若在一局比賽中,甲先發(fā)球.
(1)求比賽進行3個回合后,甲與乙的比分為的概率;
(2)表示3個回合后乙的得分,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知甲盒內(nèi)有大小相同的個紅球和個黑球,乙盒內(nèi)有大小相同的個紅球和個黑球.現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取個球.
(1)求取出的個球中恰有個紅球的概率;
(2)設(shè)為取出的個球中紅球的個數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】寒假即將到來,某賓館有50個房間供游客住宿,當(dāng)每個房間的房價為每天180元時,房間會全部住滿.當(dāng)每個房間每天的房價每增加10元時,就會有一個房間空閑.賓館需對游客居住的每個房間每在支出20元的各種費用(人工費,消耗費用等等).受市場調(diào)控,每個房間每天的房價不得高于340元.設(shè)每個房間的房價每天增加x元(x為10的正整數(shù)倍)
(1)設(shè)賓館一天的利潤為W元, 求W與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)一天訂住多少個房間時,賓館的利潤最大?最大利潤是多少元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x).
(1)求f(﹣1)+f(3)的值;
(2)求證:f(x+1)為奇函數(shù);
(3)若銳角α滿足f(2﹣sinα)+f(cosα)>0,求α的取值范圍.
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