【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中,四邊形ABCD是菱形,∠BAD=60°,又PD⊥平面ABCD,點E是棱AD的中點,F(xiàn)在棱PC上,且AD=PD=4.
(1)證明:平面BEF⊥平面PAD;
(2)若PA∥平面BEF,求四棱錐F﹣BCDE的體積.
【答案】(1)見解析;(2) .
【解析】
(1)證明PD⊥EB,EB⊥AD,推出BE⊥平面PAD,然后證明平面BEF⊥平面PAD;
(2)連接AC交BE于G,連接GF,證明PA∥FG,△AEC~△CBG,得到PF:FC=AG:GC=1:2,求出梯形BCDE的面積然后求解幾何體的體積.
(1)證明:PD⊥平面ABCD,BE平面ABCD,所以PD⊥EB,
又底面ABCD是∠A=60°的菱形,且點E是棱AD的中點,所以EB⊥AD,
又PD∩AD=D,所以BE⊥平面PAD,BE⊥平面PAD,BE平面BEF,
所以平面BEF⊥平面PAD.
(2)連接AC交BE于G,連接GF,則GF=平面PAC∩平面BEF,
因為PA∥平面BEF,所以PA∥FG,
因為底面ABCD是菱形,且點E是棱AD的中點,所以△AEC~△CBG,
且AG:GC=AE:BC=1:2,
所以PF:FC=AG:GC=1:2,
梯形BCDE的面積,
所以.
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【題目】某投資公司計劃在甲、乙兩個互聯(lián)網(wǎng)創(chuàng)新項目上共投資1200萬元,每個項目至少要投資300萬元.根據(jù)市場分析預(yù)測:甲項目的收益與投入滿足,乙項目的收益與投入滿足.設(shè)甲項目的投入為.
(1)求兩個項目的總收益關(guān)于的函數(shù).
(2)如何安排甲、乙兩個項目的投資,才能使總收益最大?最大總收益為多少?(注:收益與投入的單位都為“萬元”)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形, , , , 與均為等邊三角形,點為的中點.
(1)證明:平面平面;
(2)試問在線段上是否存在點,使二面角的余弦值為,若存在,請確定點的位置;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù),2019年11月全國(居民消費價格指數(shù)),同比上漲,上漲的主要因素是豬肉價格的上漲,豬肉加上其他畜肉影響上漲3.27個百分點.下圖是2019年11月一籃子商品權(quán)重,根據(jù)該圖,下列四個結(jié)論正確的有______.
①一籃子商品中權(quán)重最大的是居住
②一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過
③豬肉在一籃子商品中權(quán)重為
④豬肉與其他禽肉在一籃子商品中權(quán)重約為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】越野汽車輪胎的質(zhì)量是根據(jù)其正常使用的時間來衡量,使用時間越長,表明質(zhì)量越好,且使用時間大于或等于6千小時的為優(yōu)質(zhì)品.現(xiàn)用,兩種不同型號的汽車輪胎做試驗,各隨機抽取部分產(chǎn)品作為樣本,得到試驗結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示,以上述試驗結(jié)果中各組的頻率作為相應(yīng)的概率.
(1)現(xiàn)從大量的,兩種型號的輪胎中各隨機抽取2件產(chǎn)品,求其中至少有3件是優(yōu)質(zhì)品的概率;
(2)通過多年統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),型輪胎每件產(chǎn)品的利潤(單位:元)與其使用時間(單位:千小時)的關(guān)系如下表:
使用時間(單位:千小時) | |||
每件產(chǎn)品的利潤(單位:元) | 200 | 400 |
若從大量的型輪胎中隨機抽取兩件,其利潤之和記為(單位:元),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象過點,且在點處的切線斜率為8.
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:,直線l:.
當(dāng)時,若圓C與直線l交于A,B兩點,過點A,B分別作l的垂線與y軸交于D,E兩點,求的值;
過直線l上的任意一點P作圓的切線為切點,若平面上總存在定點N,使得,求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.
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