Question

6．已知圓心在直線y=4x上，且與直線l：x+y-2=0相切于點P（1，1）．
（Ⅰ）求圓的方程；
（II）直線kx-y+3=0與該圓相交于A、B兩點，若點M在圓上，且有向量$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$（O為坐標(biāo)原點），求實數(shù)k．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓心與半徑，即可求圓的方程；
（II）直線與圓聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}kx-y+3=0\\{x^2}+{y^2}=2\end{array}\right.$得：（1+k²）x²+6kx+7=0，利用韋達定理，M代入圓方程：${（{x_1}+{x_2}）^2}+{（{y_1}+{y_2}）^2}=2$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-4a）²=r²
因為直線相切，圓心到直線的距離$d=\frac{|a+4a-2|}{{\sqrt{2}}}=r$，且圓心與切點連線與直線l垂直
$\frac{4a-1}{a-1}（-1）=-1$可得a=0，r=$\sqrt{2}$，所以圓的方程為：x²+y²=2…（6分）
（II）直線與圓聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}kx-y+3=0\\{x^2}+{y^2}=2\end{array}\right.$得：（1+k²）x²+6kx+7=0，
△=8k²-28＞0，解得$k＞\frac{{\sqrt{7}}}{2}或k＜-\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），${x_1}+{x_2}=-\frac{6k}{{1+{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{7}{{1+{k^2}}}$，${y_1}+{y_2}=\frac{6}{{1+{k^2}}}$
M代入圓方程：${（{x_1}+{x_2}）^2}+{（{y_1}+{y_2}）^2}=2$，求得k=$±\sqrt{17}$…（12分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．