Question

4．已知a為實(shí)數(shù)，f（x）=（x²-4）（x-a），
（1）求導(dǎo)數(shù)f'（x）；
（2）若x=-1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（3）若f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是遞增的，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可；
（2）求出a的值，解故導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）由原式得f（x）=x³-ax²-4x+4a，
∴f'（x）=3x²-2ax-4．
（2）由f'（-1）=0，得$a=\frac{1}{2}$，
所以$f（x）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-4x+2$，
f'（x）=3x²-x-4．
由f'（x）=0，得$x=\frac{4}{3}$或x=-1．
又$f（{\frac{4}{3}}）=-\frac{50}{27}$，$f（-1）=\frac{9}{2}$，f（-2）=0，f（2）=0，
∴f（x）在[-2，2]上的最大值為$\frac{9}{2}$，最小值為$-\frac{50}{27}$．
（3）f'（x）=3x²-2ax-4的圖象為開(kāi)口向上且過(guò)點(diǎn)（0，-4）的拋物線，
由條件得f'（-2）≥0，f'（2）≥0，
即$\left\{\begin{array}{l}4a+8≥0\\ 8-4a≥0.\end{array}\right.$∴-2≤a≤2，
∴a的取值范圍為[-2，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．