(2011•石景山區(qū)一模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列{an},a1=a,a2≠a1,當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí),an=f(an-1),且f(an)-f(an-1)=k(an-an-1),其中a,k均為非零常數(shù).
(Ⅰ)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求k的值;
(Ⅱ)令bn=an+1-an(n∈N*),若b1=1,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,求函數(shù)f(x)的解析式.
分析:(Ⅰ)利用等差數(shù)列的定義an+1-an=an-an-1,an=f(an-1),易得k=1
(Ⅱ)利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,進(jìn)而寫出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式
(Ⅲ)由數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,即{an+1-an}是等比數(shù)列,利用累加法,可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,若數(shù)列{an}為等比數(shù)列
則通項(xiàng)公式為an=Aqn-1形式,經(jīng)對照可得函數(shù)解析式
解答:解:(Ⅰ)由已知an=f(an-1),f(an)-f(an-1)=k(an-an-1),
   an+1-an=f(an)-f(an-1)=k(an-an-1),
∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,∴an+1-an=an-an-1
∴k=1
(Ⅱ)由b1=a2-a1≠0,可得b3=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)≠0
且當(dāng)n>2時(shí)
bn=an+1-an=f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)=…=kn-1(a2-a1)≠0
bn
bn-1
=
an+1-an
an-an-1
=
f(an)-f(an-1)
an-an-1
=k
∴數(shù)列{bn}是一個(gè)以首項(xiàng)為b1,公比為k的等比數(shù)列
∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為  bn=kn(n∈N*
(Ⅲ)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,由(Ⅱ)得bn=kn-1(a2-a1
∴b1+b2+b3+…+bn-1=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an-a1
∴an=a1+(b1+b2+b3+…+bn-1
當(dāng)k=1時(shí),an=a1+(a2-a1)(n-1)(n≥2)
上式對n=1也成立,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a+(f(a)-a)(n-1)
所以當(dāng)k=1時(shí),數(shù)列{an}是一個(gè)以首項(xiàng)為a,公差為f(a)-a的等差數(shù)列
∴k≠1
當(dāng)k≠1時(shí),an=a1+(a2-a1
1-kn-1
1-k
(n≥2)
上式對n=1也成立
∴an=a+(f(a)-a)
1-kn-1
1-k
=a+
f(a)-a
1-k
-
(f(a)-a)kn-1
1-k

∴a+
f(a)-a
1-k
=0
∴f(a)=ka
∴等式f(a)=ka對任意實(shí)數(shù)a均成立
∴f(x)=kx (k≠1)
點(diǎn)評:本題綜合考查了等比、等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式,累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,與函數(shù)結(jié)合是本題的特色,對解題技巧有較高的要求,屬于難題
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(2011•石景山區(qū)一模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1經(jīng)過點(diǎn)P(
6
2
,
1
2
),離心率是
2
2
,動(dòng)點(diǎn)M(2,t)(t>0)
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求以O(shè)M為直徑且別直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程;
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2-x,x∈(-∞,1)
x2,x∈[1,+∞)
,那么f(-1)=
2
2
,若f(x)>4則x的取值范圍是
(-∞,-2)∪(2,∞)
(-∞,-2)∪(2,∞)

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a
=(1,n),
b
=(-1,n),若2
a
+
b
b
垂直,則n=
3
3
3
3

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