Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ln（1+x）}{1+x}$．
（Ⅰ）  求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[m，n]（0≤m＜n）上的值域為[km，kn]，試求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最小值即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為方程f（x）=kx在[0，+∞）上有2個不相等的實數(shù)根，令F（x）=f（x）-kx，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍，從而確定k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=1-$\frac{1-ln（1+x）}{{（1+x）}^{2}}$=$\frac{{（1+x）}^{2}-1+ln（1+x）}{{（1+x）}^{2}}$，
故N（x）=（1+x）²-1+ln（1+x），
故N′（x）=2（1+x）+$\frac{1}{1+x}$＞0，
故N（x）在（-1，+∞）遞增，由于N（0）=0，
∴f（x）在（-1，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∴f（x）_min=f（0）=0；
（Ⅱ）由題意得f（x）在（0，+∞）遞增，
故$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=km}\\{f（n）=kn}\end{array}\right.$，
即方程f（x）=kx在[0，+∞）上有2個不相等的實數(shù)根，
又0是f（x）0的根，故方程有1個正根，
令F（x）=f（x）-kx=（1-k）x-$\frac{ln（1+x）}{1+x}$，
則F′（x）=（1-k）-$\frac{1-ln（1+x）}{1+x}$=$\frac{（1-k{）（1+x）}^{2}-1+ln（1+x）}{{（1+x）}^{2}}$，
令N₁（x）=（1-k）（1+x）²-1+ln（1+x），
當(dāng)0＜k＜1時，${{N}_{1}}^{′}$（x）=2（1-k）（1+x）+$\frac{1}{1+x}$＞0，
故N₁（x）=0有1個正根，
故N₁（x）＜0，即-k＜0，故0＜k＜1，
當(dāng)k≥1時，F(xiàn)（x）=（1-k）x-$\frac{ln（1+x）}{1+x}$，
令F（0）=0，得：（1-k）x=$\frac{ln（1+x）}{1+x}$（*），
由于x＞0，故（1-k）x≤0，
而$\frac{ln（1+x）}{1+x}$＞0，故（*）不成立，
綜上，k∈（0，1）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的由于以及分類討論思想，是一道中檔題．