【題目】設函數(shù), .
(Ⅰ)判斷函數(shù)零點的個數(shù),并說明理由;
(Ⅱ)記,討論的單調性;
(Ⅲ)若在恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ) 時, 在單調遞減, 時, 在單調遞減,在單調遞增;(Ⅲ) .
【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意知,∴,
故在單調遞增,又 ,因此函數(shù)在內存在零點.
所以的零點的個數(shù)為1.
(Ⅱ)由題意, ,分時和 兩種情況討論,可知的單調性;
(Ⅲ)由題意: ,
問題等價于在恒成立,
討論可知, ,
即當在恒成立時,必有.
當時,設,
①若,則時,, 不恒成立.
②若,即時, 在恒成立.
試題解析:(Ⅰ)由題意知,∴,
故在單調遞增,
又, ,
因此函數(shù)在內存在零點.
所以的零點的個數(shù)為1.
(Ⅱ),
,
當時, , 在上單調遞減;
當時,由,解得(舍去負值),
所以時, , 單調遞減,
時, , 單調遞增.
綜上時, 在單調遞減,
時, 在單調遞減,在單調遞增.
(Ⅲ)由題意: ,
問題等價于在恒成立,
設,
若記,
則,
當時, ,
在單調遞增,
,
即,
若,由于,故,故,
即當在恒成立時,必有.
當時,設,
①若,則時,
由(Ⅱ)知, 單調遞減, , 單調遞增,
因此,而,
即存在,使,
故當時, 不恒成立.
②若,即時,
設,
,
由于且,
即,故,
因此,
故在單調遞增.
所以時,
即時, 在恒成立.
綜上: , 在恒成立.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求函數(shù)的圖象在點(1, )處的切線方程;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅲ)已知,對于函數(shù)圖象上任意不同的兩點,其中,直線的斜率為,記,若求證
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【題目】在投擲骰子試驗中,根據(jù)向上的點數(shù)可以定義許多事件,如:A={出現(xiàn)1點},B={出現(xiàn)3點或4點},C={出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)},D={出現(xiàn)的點數(shù)是偶數(shù)}.
(1)說明以上4個事件的關系.
(2)求兩兩運算的結果.
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【題目】甲、乙、丙三人組成一個小組參加電視臺舉辦的聽曲猜歌名活動,在每一輪活動中,依次播放三首樂曲,然后甲猜第一首,乙猜第二首,丙猜第三首,若有一人猜錯,則活動立即結束;若三人均猜對,則該小組進入下一輪,該小組最多參加三輪活動.已知每一輪甲猜對歌名的概率是,乙猜對歌名的概率是,丙猜對歌名的概率是,甲、乙、丙猜對與否互不影響.
(I)求該小組未能進入第二輪的概率;
(Ⅱ)記乙猜歌曲的次數(shù)為隨機變量,求的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】設函數(shù), 為正實數(shù).
(1)當時,求曲線在點處的切線方程;
(2)求證: ;
(3)若函數(shù)有且只有個零點,求的值.
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【題目】在哈爾濱的中央大街的步行街同側有6塊廣告牌,牌的底色可選用紅、藍兩種顏色,若要求相鄰兩塊牌的底色不都為藍色,則不同的配色方案共有( )
A. 20 B. 21 C. 22 D. 24
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