Question

8．若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的漸近線將圓x²+y²-2x-4y+4=0平分，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 3
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線的方程分析可得其漸近線方程，由圓的方程分析可得圓的圓心坐標，由題意分析可得雙曲線的漸近線將圓x²+y²-2x-4y+4=0平分，則直線y=$\frac{a}$x過圓心，即可得有$\frac{a}$=2，即b=2a，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得c的值，由雙曲線離心率公式計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，
則其漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
圓x²+y²-2x-4y+4=0，其標準方程為：（x-1）²+（y-2）²=1，其圓心為（1，2），
若雙曲線的漸近線將圓x²+y²-2x-4y+4=0平分，則直線y=$\frac{a}$x過圓心，
則有$\frac{a}$=2，即b=2a，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
則其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$；
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意漸近線將圓x²+y²-2x-4y+4=0平分，即漸近線過圓的圓心．