Question

3．如圖，以A、B、C、D、E為頂點(diǎn)的六面體中，△ABC和△ABD均為等邊三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥平面ABC，EC=$\sqrt{3}$，AB=2．
（1）求證：DE⊥平面ABD；
（2）求二面角D-BE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）作作DF⊥AB，交AB于F，連結(jié)CF．由△ABC和△ABD均為邊長為2的等邊三角形，得DF=$DF=\sqrt{3}$，DF=EC，于是 DE∥CF．由CF⊥平面△ABD，得DE⊥平面△ABD．
（2）由（1）知BF，CF，DF兩兩垂直，如圖建系，則$F（{0，0，0}），B（{1，0，0}），D（{0，0，\sqrt{3}}），C（{0，\sqrt{3}，0}），E（{0，\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$．
求出平面BDE的法向量、平面BCE的法向量，可得$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{4}$，即二面角D-BE-C的正弦值為$\frac{3}{4}$．

解答 解：（1）證明：作DF⊥AB，交AB于F，連結(jié)CF．因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ABD，
所以DF⊥平面ABC，又因?yàn)镋C⊥平面ABC，從而DF∥EC，
因?yàn)�，△ABC和△ABD均為邊長為2的等邊三角形，所以DF=$DF=\sqrt{3}$，因此DF=EC，
于是四邊形DECF為平行四邊形，所以DE∥CF．
因?yàn)椤鰽BD是等邊三角形，所以F是AB中點(diǎn)，而△ABC是等邊三角形，
因此CF⊥AB，從而CF⊥平面△ABD，又因?yàn)镈E∥FC，所以DE⊥平面△ABD．
     
（2）由（1）知BF，CF，DF兩兩垂直，如圖建系，則$F（{0，0，0}），B（{1，0，0}），D（{0，0，\sqrt{3}}），C（{0，\sqrt{3}，0}），E（{0，\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$．
設(shè)平面BDE的法向量$\overrightarrow m=（{x，y，z}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m?¤\overrightarrow{BD}=0\\ \overrightarrow m?¤\overrightarrow{BE}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-x+\sqrt{3}z=0\\-x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$，令x=3得，平面BDE的法向量$\overrightarrow m=（{3，0，\sqrt{3}}）$；
同理可求得平面BCE的法向量$\overrightarrow n=（{3，\sqrt{3}，0}）$，
所以$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{4}$，即二面角D-BE-C的余弦值為$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間線面位置關(guān)系的判定，向量法求二面角，屬于中檔題，