Question

15．已知數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，${b_n}={2^{{a_n}-1}}$且a₁=2，a₃=4．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{b_n}}\right\}$的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)公比為q，由題意得：$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{{a}_{n+1}-1}}{{2}^{{a}_{n}-1}}$=${2}^{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=q，即a_n+1-a_n=log₂q．可得{a_n}為等差數(shù)列，即可得出．
（2）由（1）得：b_n=2ⁿ．可得$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{a_n}{2^n}=\frac{n+1}{2^n}$，利用“錯位相減法“與等比數(shù)列的求和公式．

解答 解：（1）設(shè)公比為q，由題意得：$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{{a}_{n+1}-1}}{{2}^{{a}_{n}-1}}$=${2}^{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=q，即a_n+1-a_n=log₂q．
所以{a_n}為等差數(shù)列，又$d=\frac{{{a_3}-{a_1}}}{2}=1$，a₁=2．
所以${a_n}=n+1，n∈{N^*}$．
（2）由（1）得：b_n=2ⁿ．
∴$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{a_n}{2^n}=\frac{n+1}{2^n}$，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{b_n}}\right\}$的前n項和S_n=$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴${S_n}=3-\frac{n+3}{2^n}$．

點評 本題考查了錯位相減法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．