Question

9．設(shè)數(shù)列{a_n}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a₁=2，a₃=a₂+4．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（2）若數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，設(shè)c_n=a_n+b_n，求數(shù)列{c_n }的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得到等比數(shù)列首項(xiàng)和公比的等式求出公比，得到通項(xiàng)公式；
（2）得到{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式，求得{c_n}的通項(xiàng)公式，利用分組求和得到數(shù)列{c_n }的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）由題意得${a_1}•{q^2}={a_1}•q+4$即2q²=2q+4
整理得q²-q-2=0解得q=2或-1∵數(shù)列{a_n}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列∴q=2
$\begin{array}{l}∴{a_n}={a_1}•{q^{n-1}}=2•{2^{n-1}}={2^n}\\{S_n}=\frac{{{a_1}（1-{q^n}）}}{1-q}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}=2（{2^n}-1）={2^{n+1}}-2\end{array}$
（2）由（1）得${a_n}={2^n}$，
數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴b_n=2n-1，
∴c_n=a_n+b_n=2ⁿ+2n-1，
∴數(shù)列{c_n }的前n項(xiàng)和T_n=（2+2²+…+2ⁿ）+2（1+2+3+…+n）-n
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}+2×\frac{n（n+1）}{2}-n$=2ⁿ⁺¹+n²-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法以及分組求和；屬于經(jīng)�？疾轭}目．