Question

7．設x．y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-3≤0}\\{2x-2y-1≤0}\\{x-a≥0}\end{array}\right.$，若$\frac{x-y}{x+y}$的最大值為2，則a的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{3}{8}$
• D． $\frac{5}{9}$

Answer 1

分析 分別作出不等式2x+y-3≤0和2x-2y-1≤0的公共區(qū)域，求得交點，確定a的范圍，作出不等式組的可行域，求得交點A，B的坐標，可得OA，OB的斜率，可得$\frac{y}{x}$的范圍，由$\frac{x-y}{x+y}$=$\frac{1-\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}$=-1+$\frac{2}{1+\frac{y}{x}}$，代入OA，OB的斜率，解方程可得a的值，檢驗即可得到a的值．

解答 解：分別作出直線2x+y-3=0和直線2x-2y-1=0，
可得不等式2x+y-3≤0和2x-2y-1≤0的公共區(qū)域，
求得交點為（$\frac{7}{6}$，$\frac{2}{3}$），由題意可得a＜$\frac{7}{6}$，
作出不等式組的可行域，如右圖．
求得A（a，3-2a），B（a，$\frac{2a-1}{2}$），
則$\frac{y}{x}$表示可行域內的點與原點的斜率，
可得范圍為[k_OB，k_OA]，
即為[$\frac{2a-1}{2a}$，$\frac{3-2a}{a}$]．
由$\frac{x-y}{x+y}$的最大值為2，
又$\frac{x-y}{x+y}$=$\frac{1-\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}$=-1+$\frac{2}{1+\frac{y}{x}}$，
由圖象可得k_OB＜0，k_OA＞0，
由-1+$\frac{2}{1+\frac{2a-1}{2a}}$=2，解得a=$\frac{3}{8}$＜$\frac{7}{6}$，成立；
由-1+$\frac{2}{1+\frac{3-2a}{a}}$=2，解得a=$\frac{9}{5}$＞$\frac{7}{6}$，不成立．
綜上可得a=$\frac{3}{8}$．
故選：C．

點評 平面區(qū)域的最值問題是線性規(guī)劃問題中一類重要題型，在解題時，關鍵是正確地畫出平面區(qū)域，分析表達式的幾何意義，然后結合數形結合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點的坐標，即可求出答案．