Question

19．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{2}^{x}，x≤0}\\{{x}^{3}-3x+a，x＞0}\end{array}\right.$的值域?yàn)閇0，+∞），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． 2≤a≤3
• B． a＞2
• C． a≥2
• D． 2≤a＜3

Answer 1

分析 先可求得x≤0時(shí)，0≤f（x）＜1，從而根據(jù)f（x）的值域[0，+∞）即可得到x＞0時(shí)，f（x）的值域B滿足[1，+∞）⊆B⊆[0，+∞），并求出x＞0時(shí)，f′（x）=3（x²-1），根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號便可求出x=1時(shí)，f（x）取到最小值a-2，這樣即可得出關(guān)于a的不等式，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：x≤0時(shí)，0＜2^x≤1；
∴0≤1-2^x＜1；
∴x＞0時(shí)，f（x）=x³-3x+a的值域B滿足[1，+∞）⊆B⊆[0，+∞），
f′（x）=3（x²-1）；
∴0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，x＞1時(shí)，f′（x）＞0；
∴x=1時(shí)，f（x）取最小值a-2；
∴0≤a-2≤1；
∴2≤a≤3；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，3]．
故選A．

點(diǎn)評 考查函數(shù)值域的概念及求法，分段函數(shù)值域的求法，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法．