【題目】若定義在R上的函數(shù)對任意的、,都有成立,且當時,.
(1)求證:是R上的增函數(shù);
(2)若,解不等式.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)要判斷函數(shù)的增減性,就是在自變量范圍中任意取兩個x1<x2∈R,判斷出f(x1)與f(x2)的大小即可知道增減性.
(2)已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣1,且f(4)=5,則f(4)=f(2)+f(2)﹣1f(2)=3.由不等式f(3m﹣2)<3,得f(3m﹣2)<f(2),由(1)知,f(x)是R上的增函數(shù),得到3m﹣2<2,求出解集即可.
(1) 任取x1,x2∈R,且x1<x2,則x2﹣x1>0,f(x2﹣x1)>1,
∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣1,
∴f(x2)﹣f(x1)=f(x2﹣x1+ x1)﹣f(x1)
=f(x2﹣x1)+f(x1)﹣1﹣f(x1)=f(x2﹣x1)﹣1>0,
∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)是R上的增函數(shù).
(2)∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣1,且f(4)=5,
∴f(4)=f(2)+f(2)﹣1f(2)=3.
由不等式f(3m﹣2)<3,得f(3m﹣2)<f(2),
由(1)知,f(x)是R上的增函數(shù),
∴3m﹣2<2,∴3m﹣4<0,∴﹣1<m,
∴不等式f(3m﹣2)<3的解集為(﹣1,).
因此,不等式的解集為
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),直線l經(jīng)過定點P(3,5),傾斜角為.
(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的標準方程.
(2)設直線l與曲線C相交于A,B兩點,求|PA|·|PB|的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知x∈(1,+∞),函數(shù)f(x)=ex+2ax(a∈R),函數(shù)g(x)=| ﹣lnx|+lnx,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若a=﹣ ,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:當a∈(2,+∞)時,f′(x﹣1)>g(x)+a.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在P地正西方向8km的A處和正東方向1km的B處各有一條正北方向的公路AC和BD,現(xiàn)計劃在AC和BD路邊各修建一個物流中心E和F,為緩解交通壓力,決定修建兩條互相垂直的公路PE和PF,設∠EPA=α(0<α< ).
(1)為減少對周邊區(qū)域的影響,試確定E,F(xiàn)的位置,使△PAE與△PFB的面積之和最;
(2)為節(jié)省建設成本,試確定E,F(xiàn)的位置,使PE+PF的值最小.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的中心為O,四邊形OBEF為矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,點G為AB的中點,AB=BE=2.
(1)求證:EG∥平面ADF;
(2)求二面角O﹣EF﹣C的正弦值;
(3)設H為線段AF上的點,且AH= HF,求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥BD,底面ABCD是邊長為a的菱形,∠BAD=120°,PA=b,AC與BD交于點O,M為OC的中點.
(1)求證:平面PAC⊥平面ABCD;
(2)若∠PAC=90°,二面角O﹣PM﹣D的正切值為 ,求a:b的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】近年空氣質量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象增多,大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關,在某醫(yī)院隨機對入院的50人進行問卷調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合計 | |
男 | 20 | 5 | 25 |
女 | 10 | 15 | 25 |
合計 | 30 | 20 | 50 |
(Ⅰ)用分層抽樣的方法在患心肺疾病的人群中抽6人,其中男性抽多少人?
(Ⅱ)在上述抽取的6人中選2人,求恰好有1名女性的概率;
(Ⅲ)為了研究心肺疾病是否與性別有關,請計算出統(tǒng)計量,你有多大把握認為心肺疾病與性別有關?(結果保留三個有效數(shù)字)
下面的臨界值表供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024/p> | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式: ,其中.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩運動員進行射擊訓練,已知他們擊中的環(huán)數(shù)都穩(wěn)定在7,8,9,10環(huán),且每次射擊成績互不影響.射擊環(huán)數(shù)的頻率分布條形圖如下:
若將頻率視為概率,回答下列問題:
(1)求甲運動員在3次射擊中至少有1次擊中9環(huán)以上(含9環(huán))的概率;
(2)若甲、乙兩運動員各自射擊1次,表示這2次射擊中擊中9環(huán)以上(含9環(huán))的次數(shù),求的分布列及期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】要得到函數(shù)f(x)=2sinxcosx,x∈R的圖象,只需將函數(shù)g(x)=2cos2x﹣1,x∈R的圖象( )
A.向左平移 個單位
B.向右平移 個單位
C.向左平移 個單位
D.向右平移 個單位
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com