【題目】已知x∈(1,+∞),函數(shù)f(x)=ex+2ax(a∈R),函數(shù)g(x)=| ﹣lnx|+lnx,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若a=﹣ ,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:當a∈(2,+∞)時,f′(x﹣1)>g(x)+a.

【答案】
(1)解:當a=﹣ ,f(x)=ex﹣e2x,x∈(1,+∞),

f′(x)=ex﹣e2,

當x∈(1,2)時,f′(x)<0,f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減;

當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增


(2)證明: x∈(1,+∞),f′(x﹣1)=ex1+2a,

g(x)=| ﹣lnx|+lnx=

①1<x<e時,證明當a∈(2,+∞)時,f′(x﹣1)>g(x)+a,

即證明:ex1+2a> +a,a>2,

即a> ﹣ex1,

只需證明h(x)= ﹣ex1≤2在(1,e)恒成立即可,

h′(x)=﹣ ﹣ex1<0,h(x)在(1,e)遞減,

h(x)最大值=h(1)=e﹣1<2,

∴a> ﹣ex1

∴1<x<e時,當a∈(2,+∞)時,f′(x﹣1)>g(x)+a;

②x≥e時,證明當a∈(2,+∞)時,f′(x﹣1)>g(x)+a,

即證明:ex1+2a>2lnx﹣ +a,a>2,

令m(x)=ex1﹣2lnx+ +a,(a>0,x≥e),

m′(x)=﹣ +ex1,顯然m′(x)在[e,+∞)遞增,

而m′(e)= ≈0,m′(3)≈6,

近似看成m(x)在[e,+∞)遞增,

∴m(x)>m(x0)≈m(e)=ee1+a﹣1>ee1+1>0,

綜上,當a∈(2,+∞)時,f′(x﹣1)>g(x)+a


【解析】(1)把a=﹣ 代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導函數(shù)由導函數(shù)的符號求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求出f′(x﹣1)的表達式以及g(x)的分段函數(shù),通過討論1<x<e和 x≥e的范圍分別證明得答案.

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優(yōu)(個)

28

良(個)

32

30

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