Question

20．如圖，已知O為△ABC的外心，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．
（1）若5$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，求cos∠BOC的值；
（2）若$\overrightarrow{CO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BO}$•$\overrightarrow{CA}$，求$\frac{^{2}+{c}^{2}}{{a}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)5$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，采用兩邊平方，構(gòu)造出$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$，即可cos∠BOC；
（2）利用向量的加減運(yùn)用，消去$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{CA}$．根據(jù)正弦定理求解．

解答 解：（1）∵5$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，即4$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=-5$\overrightarrow{OA}$，
兩邊平方，可得：4R²+9R²+24$\overrightarrow{OB}$$\overrightarrow{OC}$=25R²
得24$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=0
即|$\overrightarrow{OB}$|•|$\overrightarrow{OC}$|cos∠BOC=0，
∴cos∠BOC=0．
（2）∵$\overrightarrow{CO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BO}$•$\overrightarrow{CA}$，
∴$\overrightarrow{CO}$•（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）=$\overrightarrow{BO}$•（$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}$），即$-\overrightarrow{CO}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$
可得：-R²cos2A+R²cos2B=-R²cos2C+R²cos2A
∴2cos2A=cos2C+cos2B，
即2（1-2sin²A）=2-（2sin²B+2sin²C），
2sin²A=-sin²B+sin²C，
可得2a²=-b²+c²，
那么：$\frac{^{2}+{c}^{2}}{{a}^{2}}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的運(yùn)算和正弦定理的計(jì)算，屬于中檔題．