Question

15．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為A，P（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{3}$）是橢圓C上的一點(diǎn)，以AP為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F₂．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F₁為橢圓C的左焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M、N，記△F₁MN的內(nèi)切圓的面積為S，求當(dāng)S取最大值時(shí)直線l的方程，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的上頂點(diǎn)為A，以AP為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F₂．P（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{3}$）是橢圓C上的一點(diǎn)，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+$\sqrt{2}$，由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得$（{m}^{2}+2）{y}^{2}+2\sqrt{2}my-2=0$，由此利用韋達(dá)定理、橢圓定義、要使內(nèi)切圓面積S最大，只需要求△F₁MN的面積S′最大，結(jié)合已知條件能求出當(dāng)S取最大值時(shí)直線l的方程，并能求出最大值．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為A，以AP為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F₂．
∴F₂（c，0），A（0，b），P（$\frac{4\sqrt{2}}{3}，\frac{3}$），
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}•\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（-c，b）•（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$-c，$\frac{3}$）=c²-$\frac{4\sqrt{2}}{3}c$+$\frac{^{2}}{3}$=0，
∵P（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{3}$）是橢圓C上的一點(diǎn)，
∴$\frac{32}{9{a}^{2}}+\frac{^{2}}{9^{2}}=1$，解得a=2，
∵a²=b²+c²，解得c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）由題意直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為x=my+$\sqrt{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得$（{m}^{2}+2）{y}^{2}+2\sqrt{2}my-2=0$，
y₁+y₂=$\frac{-2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-2}{{m}^{2}+2}$，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，△F₁MN的周長(zhǎng)為C，面積為S′，
∵S′=$\frac{1}{2}Cr$，
由橢圓定義得C=4a=8，∴S′=4r，
要使內(nèi)切圓面積S最大，只需要求△F₁MN的面積S′最大，
△F₁MN的面積為：
S′=$\frac{1}{2}×2c×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\sqrt{2}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{2[（\frac{-2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}）^{2}-4•\frac{-2}{{m}^{2}+2}]}$=$\frac{4\sqrt{2}•\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+2}$，
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，t≥1．
S′=$\frac{4\sqrt{2}t}{{t}^{2}+1}$=$\frac{4\sqrt{2}}{t+\frac{1}{t}}$$≤2\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即m=0時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，S=πr²=$\frac{π}{2}$，
直線l的方程為x=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查當(dāng)三角形的內(nèi)切圓的面積取最大值時(shí)直線l的方程及這個(gè)最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．