Question

6．設(shè)a是實數(shù)，f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（x∈R）．
（1）證明：f（x）是增函數(shù)；
（2）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？

Answer 1

分析 （1）運用單調(diào)性的定義，設(shè)值、作差、變形和定符號、下結(jié)論等；
（2）運用定義法，若f（x）為奇函數(shù)，可得f（-x）+f（x）=0，化簡整理，解方程即可得到a的值．

解答 解：（1）證明：設(shè)m＜n，
則f（m）-f（n）=a-$\frac{2}{{2}^{m}+1}$-（a-$\frac{2}{{2}^{n}+1}$）
=$\frac{2（{2}^{m}-{2}^{n}）}{（{2}^{m}+1）（{2}^{n}+1）}$，
由m＜n，可得2^m＜2ⁿ，則（2^m+1）（2ⁿ+1）＞0，2^m-2ⁿ＜0．
即有f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n），
則f（x）在R上為增函數(shù)；
（2）存在實數(shù)a=1，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
若f（x）為奇函數(shù)，可得f（-x）+f（x）=0，
即有a-$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$+a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=2a-（$\frac{2•{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$）
=2a-2=0，
解得a=1．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，注意運用定義法，考查存在性問題的解法，注意運用假設(shè)法，以及奇函數(shù)的定義，考查運算能力，屬于中檔題．