Question

16．（1）已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸，實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之比為2：3，且經(jīng)過(guò)P（$\sqrt{6}$，2），求雙曲線方程．
（2）已知焦點(diǎn)在x軸上，離心率為$\frac{5}{3}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-3，2$\sqrt{3}$）的雙曲線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），由條件可得a，b的方程組，解方程可得a，b，進(jìn)而得到所求方程；
（2）設(shè)所求雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），運(yùn)用離心率公式，以及代入法，得到a，b的方程，解方程，可得a，b，進(jìn)而得到所求雙曲線方程．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）．
依題意可得3a=2b且$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{6}{^{2}}$=1，
解得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=$\sqrt{3}$，
故所求雙曲線方程為$\frac{3}{4}$y²-$\frac{1}{3}$x²=1．
（2）設(shè)所求雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）．
∵e=$\frac{5}{3}$，∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{25}{9}$，∴$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$．
由題意可得$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{12}{^{2}}$=1，解得a=$\frac{3}{2}$，b=2，
∴所求的雙曲線方程為$\frac{4{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查方程思想，化簡(jiǎn)整理運(yùn)算能力，屬于中檔題．