Question

16．已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，-1，4）．則△ABC的面積是（　�。�

• A． $\frac{{5\sqrt{42}}}{2}$
• B． $5\sqrt{42}$
• C． $5\sqrt{3}$
• D． $5\sqrt{14}$

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{AB}$=（3，4，-8），$\overrightarrow{AC}$=（5，1，-7），△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AC}|×sin＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$，由此能求出結果．

解答 解：∵A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，-1，4），
∴$\overrightarrow{AB}$=（3，4，-8），$\overrightarrow{AC}$=（5，1，-7），
|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{9+16+64}$=$\sqrt{89}$，
|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{25+1+49}$=5$\sqrt{3}$，
cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{15+4+56}{\sqrt{89}•5\sqrt{3}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{89}}$，
sin＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞=$\sqrt{1-（\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{89}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{89}}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AC}|×sin＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$=$\frac{1}{2}×\sqrt{89}×5\sqrt{3}×\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{89}}$=$\frac{5\sqrt{42}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查三角形面積的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間向量坐標運算法則的合理運用．