Question

4．已知曲線C上的動點P（x，y）到點F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1．動點E在直線l上，過點E分別做曲線C的切線EA，EB，切點為A，B．
（1）求曲線C的方程；
（2）求|AB|的最小值；
（3）在直線l上是否存在一點M，使得△ABM為以AB為斜邊的等腰直角三角形？若存在，求出點M坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義，可得曲線C的方程x²=4y．
（2）設E（a，-2），A，B的坐標，由題設知x₁²-2ax₁-8=0．同理可得：x₂²-2ax₂-8=0所以x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-8，可得AB中點，由此可知直線AB方程，即可求|AB|的最小值；
（3）由（2）知AB中點，直線AB的方程為，分類討論，利用條件，即可得出結論．

解答 解：（1）∵曲線C上的動點P（x，y）到點F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1，
∴P的軌跡是以（0，1）為焦點的拋物線，曲線C的方程x²=4y；
（2）設E（a，-2），A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
∵$y=\frac{{x}^{2}}{4}$，∴y′=$\frac{1}{2}x$，過點A的拋物線切線方程為y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}x$₁（x-x₁），
∵切線過E點，∴整理得：x₁²-2ax₁-8=0
同理可得：x₂²-2ax₂-8=0，∴x₁，x₂是方程x²-2ax-8=0的兩根，∴x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-8，
可得AB中點為（a，$\frac{{a}^{2}+4}{2}$）
又${k}_{AB}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$=$\frac{a}{2}$，
∴直線AB的方程為y-$\frac{{a}^{2}+4}{2}$=$\frac{a}{2}$（x-a）即y=$\frac{a}{2}$x+2，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}•\sqrt{4{a}^{2}+32}$，
∴a=0時，|AB|的最小值為4$\sqrt{2}$；
（3）由（2）知AB中點N（a，$\frac{{a}^{2}+4}{2}$），直線AB的方程為y=$\frac{a}{2}$x+2．
當a≠0時，則AB的中垂線方程為y-$\frac{{a}^{2}+4}{2}$=-$\frac{2}{a}$（x-a），
∴AB的中垂線與直線y=-2的交點M（$\frac{{a}^{3}+12a}{4}$，-2），
∴|MN|²=$\frac{1}{16}（{a}^{2}+8）^{2}（{a}^{2}+4）$
∵|AB|=$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}•\sqrt{4{a}^{2}+32}$，
若△ABM為等腰直角三角形，則|MN|=$\frac{1}{2}$|AB|，
∴$\frac{1}{16}（{a}^{2}+8）^{2}（{a}^{2}+4）$=$\frac{1}{4}$（$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}•\sqrt{4{a}^{2}+32}$）²，
解得a²=-4，∴不存在
當a=0時，經(jīng)檢驗不存在滿足條件的點M
綜上可得，不存在一點M，使得△ABM為以AB為斜邊的等腰直角三角形．

點評 本題考查直線和圓錐曲線的綜合問題，解題時要注意公式的靈活運用，注意計算能力的培養(yǎng)．