Question

14．在△ABC 中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{C}{2}$，sin$\frac{C}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{C}{2}$，-sin$\frac{C}{2}$），$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為 $\frac{π}{3}$
（1）求∠C；
（2）已知 c=$\frac{7}{2}$，S_△ABC=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，求 a+b．

Answer 1

分析 （1）由已知可求|$\overrightarrow{m}$|=1，|$\overrightarrow{n}$|=1，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=cosC，利用向量的夾角公式即可計(jì)算得解．
（2）由已知利用三角形面積公式可得ab=6，由余弦定理可得$\frac{49}{4}$=（a+b）²-18，聯(lián)立即可解得a+b的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{C}{2}$，sin$\frac{C}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{C}{2}$，-sin$\frac{C}{2}$），$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為 $\frac{π}{3}$，
∴|$\overrightarrow{m}$|=1，|$\overrightarrow{n}$|=1，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=cos²$\frac{C}{2}$-sin²$\frac{C}{2}$=cosC，
∵cos$\frac{π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=cosC，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵c=$\frac{7}{2}$，S_△ABC=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，解得：ab=6，①
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得$\frac{49}{4}$=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=（a+b）²-18，②
∴聯(lián)立①②可得：a+b=$\frac{11}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向量的夾角公式，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．