Question

20．已知橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12+m}=1的離心率e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$實數(shù)m為（　�。�

• A． -4或16
• B． 20
• C． -4或20
• D． -4

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分橢圓的焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論，每種情況下利用公式e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$求出m的值，綜合可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，分兩種情況討論：
若橢圓的焦點在x軸上，必有16＞12+m，即m＜4，
若其離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{12+m}{16}$=$\frac{1}{2}$，
解可得m=-4，
若橢圓的焦點在y軸上，必有16＜12+m，即m＞-4，
若其離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{16}{12+m}$=$\frac{1}{2}$，
解可得m=20，
故m=-4或20；
故選：C．

點評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，注意分析橢圓的焦點位置．