Question

4．某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)訂午餐和晚餐，已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C；一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C．另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C．如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，分別用x，y表示為該兒童預(yù)訂的午餐和晚餐的單位數(shù)．
（Ⅰ）用x，y列出滿足營養(yǎng)要求的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（Ⅱ）問應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個單位的午餐和晚餐，才能滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少？

Answer 1

分析 利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應(yīng)用．本題主要考查找出約束條件與目標(biāo)函數(shù)，準(zhǔn)確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)為該兒童分別預(yù)訂x個單位的午餐和y個單位的晚餐，
設(shè)費用為z，則z=2.5x+4y，
由題意知約束條件為：$\left\{\begin{array}{l}{12x+8y≥64}\\{6x+6y≥42}\\{6x+10y≥54}\\{x＞0，y＞0}\end{array}\right.$畫出可行域如圖：
（Ⅱ）變換目標(biāo)函數(shù)：y=-$\frac{5}{8}$x+$\frac{z}{4}$
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點A，
即直線6x+6y=42與6x+10y=54
的交點（4，3）時，z取得最小值為：10+12=22
即要滿足營養(yǎng)要求，并且花費最少，
應(yīng)當(dāng)為兒童分別預(yù)訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐．

點評 用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．