Question

13．若對任意的x∈D，均有g(shù)（x）≤f（x）≤h（x）成立，則稱函數(shù)f（x）為函數(shù)g（x）到函數(shù)h（x）在區(qū)間D上的“任性函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=kx，g（x）=x²-2x，h（x）=（x+1）（lnx+1），且f（x）是g（x）到h（x）在區(qū)間[1，e]上的“任性函數(shù)”，則實數(shù)k的取值范圍是[e-2，2]．

Answer 1

分析 若f（x）是g（x）到h（x）在區(qū)間[1，e]上的“任性函數(shù)”，則x∈[1，e]時，$\left\{\begin{array}{l}f（x）≥g（x）\\ f（x）≤h（x）\end{array}\right.$恒成立，進而可得答案．

解答 解：若f（x）是g（x）到h（x）在區(qū)間[1，e]上的“任性函數(shù)”，
則x∈[1，e]時，$\left\{\begin{array}{l}f（x）≥g（x）\\ f（x）≤h（x）\end{array}\right.$恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}kx≥{x}^{2}-2x\\ kx≤（x+1）（lnx+1）\end{array}\right.$恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}k≥{x}^{\;}-2\\ k≤\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}\end{array}\right.$恒成立，
若k≥x-2在區(qū)間[1，e]上恒成立，則k≥e-2；
令$v（x）=\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$，若$k≤\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$在區(qū)間[1，e]上恒成立，則k≤v（x）_min，
$v′（x）=\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，
令u（x）=x-lnx，則u′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
當x∈[1，e]時，u′（x）≥0恒成立，
則u（x）=x-lnx在[1，e]上為增函數(shù)，u（x）≥u（1）=1恒成立，
即$v′（x）=\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$≥0恒成立，
故$v（x）=\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$在[1，e]上為增函數(shù)，
v（x）≥v（1）=2恒成立，
故k≤2，
綜上可得：k∈[e-2，2]，
故答案為：[e-2，2]

點評 本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，函數(shù)恒成立問題，新定義“任性函數(shù)”，難度中檔．