(12分)如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面垂直,是線段EF的中點。
(Ⅰ)求證:
(Ⅱ)求二面角
解析:(方法一)證明:設(shè)BD交AC于點O,連接MO,OF
因為四邊形ABCD是正方形
所以AC⊥BD,AO=CO
又因為矩形ACEF,EM=FM,
所以MO⊥AO
因為正方形ABCD和矩形ACEF所
在平面垂直
平面ABCD平面ACEF=AC
所以MO⊥平面ABCD
所以AM⊥BD
在,
所以BD=
所以AO=1,
所以四邊形OAFM是正方形,所以AM⊥OF
因為 …………………6分
(Ⅱ)設(shè)AM、OF相交于Q,過A作AR⊥DF于R,連接QR,因為AM⊥平面BDF,
所以QR⊥DF,則∠ARQ為二面角A―DF―B的平面角…………………9分
Rt△ADF中,AF=1,AD=,所以
Rt△AQR中,QR
所以二面角A―DF―B的余弦值為 ………………………12分
(方法二)以C為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系C―xyz,連接BD則A(,,0),B(0,,0)。
D(,0,0)
F(,,1),M(,,1)
所以
所以
所以所以AM⊥平面BDF…………6分
(Ⅱ)平面ADF的法向量為
平面BDF的法向量………………8分
……………………11分
所以二面角A―DF―B的余弦值為。 ……………………12分科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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