Question

14．函數(shù)f（x）=$\frac{x^2}{lnx+x}$的值域是（-∞，0）∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 求解函數(shù)f（x）的定義域，求導(dǎo)，分析出函數(shù)的最值，可得值域．

解答 解：令g（x）=lnx+x，則存在a∈（0，1），使g（a）=0，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{x^2}{lnx+x}$，其定義域?yàn)閧x|x＞0，且x≠a}，
f′（x）=$\frac{2xlnx+{x}^{2}-x}{（lnx+x）^{2}}$，
令f′（x）=0，則x=1，
①當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
此時(shí)函數(shù)f（x）∈（-∞，0），
②當(dāng)x∈（a，1）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取極小值1，無(wú)極大值，
此時(shí)函數(shù)f（x）∈[1，+∞）
故函數(shù)的值域?yàn)椋海?∞，0）∪[1，+∞），
故答案為：（-∞，0）∪[1，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的值域，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，難度中檔．