Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{3}{10}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性并證明；
（3）當(dāng)存在x∈[$\frac{1}{2}$，1]使得不等式f（mx-x）+f（x²-1）＞0恒成立，請(qǐng)同學(xué)們探究實(shí)數(shù)m的所有可能取值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立方程關(guān)系即可確定f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）的單調(diào)性并用定義證明；
（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系即mx-x＞1-x²，即存在x∈[$\frac{1}{2}$，1]使mx-x＞1-x²成立即-1≤mx-x≤1成立．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴b=0，f（x）=$\frac{ax}{1{+x}^{2}}$，而f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{3}{10}$，即$\frac{\frac{1}{3}a}{1+\frac{1}{9}}$=$\frac{3}{10}$，解得：a=1，
故f（x）=$\frac{x}{1{+x}^{2}}$；
（2）函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1{+x}^{2}}$在[-1，1]上為增函數(shù)；
下證明：設(shè)任意x₁，x₂∈[-1，1]且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{1{{+x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）（1{{-x}_{1}x}_{2}）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）{{（x}_{2}}^{2}+1）}$，
因?yàn)閤₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，又因?yàn)閤₁，x₂∈[-1，1]，所以1-x₁x₂＞0
即$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）（1{{-x}_{1}x}_{2}）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）{{（x}_{2}}^{2}+1）}$＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函數(shù)f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)；
（3）因?yàn)閒（mx-x）+f（x²-1）＞0，所以f（mx-x）＞-f（x²-1），
即f（mx-x）＞f（1-x²），
又由（ II）函數(shù)y=f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，
所以mx-x＞1-x²，即存在x∈[$\frac{1}{2}$，1]使mx-x＞1-x²成立即-1≤mx-x≤1成立，
即存在x∈[$\frac{1}{2}$，1]使m＞-x+$\frac{1}{x}$+1成立且1-$\frac{1}{x}$≤m≤1+$\frac{1}{x}$成立，
得：m＞1且-1≤m≤2，
故實(shí)數(shù)m的所有可能取值{m|1＜m≤2}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的證明，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題．