Question

17．設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=（x-a）²+|x-a|-a（a-1）．
（1）若f（0）≤1，求a的取值范圍；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）當a＞2時，討論f（x）+|x|在R上的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（0）≤1列不等式，對a進行討論解出a的范圍，
（2）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸和開口方向判斷單調(diào)區(qū)間，
（3）設(shè)g（x）=f（x）+|x|，寫出g（x）的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷g（x）的單調(diào)性，根據(jù)零點存在定理判斷即可．

解答 解：（1）∵f（0）≤1
∴f（0）=（0-a）²+|x-a|-a（a-1）=a²+|a|-a（a-1）=|a|+a≤1
∴當a≤0時，不等式為0≤1恒成立，滿足條件，
當a＞0時，不等式為a+a≤1，
∴0＜a≤$\frac{1}{2}$，
綜上所述a的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{2}$]；
（2）當x＜a時，函數(shù) f（x）=x²-（2a+1）x+2a，
其對稱軸為x=$\frac{2a+1}{2}$=a+$\frac{1}{2}$＞a，此時y=f（x）在（-∞，a）時是減函數(shù)，
當x≥a時，f（x）=x²+（1-2a）x，
其對稱軸為：x=a-$\frac{1}{2}$＜a，y=f（x）在（a，+∞）時是增函數(shù)，
綜上所述，f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，a）上單調(diào)遞減，
（3）設(shè)g（x）=f（x）+|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2-2a）x，x≥a}\\{{x}^{2}-2ax+2a，0≤x＜a}\\{{x}^{2}-（2a+2）x+2a，x＜0}\end{array}\right.$，
當x≥a時，其對稱軸為x=a-1，
當0≤x＜a時，其對稱軸為x=a，
當x＜0時，其對稱軸為x=a+1，
∴g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
∵g（0）=2a＞0，g（a）=a²+（2-2a）a=2a-a²=-（a-1）²+1，
又a＞2，
∴g（a）=-（a-1）²+1在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（a）＜g（2）=0，
∴f（x）在（0，a）和（a，+∞）上各有一個零點，
綜上所述a＞2時，f（x）+|x|在R上有2個零點．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及函數(shù)零點存在定理，關(guān)鍵是分類討論，屬于中檔題