Question

3．△ABC的三邊長a，b，c和面積S滿足S=$\frac{1}{2}$[c²-（a-b）²]，若c=2，且2sinAcosC=sinB，則b的值為（　�。�

• A． $\frac{15}{4}$
• B． $\frac{13}{4}$
• C． $\frac{12}{5}$
• D． $\frac{13}{5}$

Answer 1

分析 利用三角形面積計算公式、余弦定理即可得出cosC的值，進而利用正弦定理余弦定理即可得出b的值．

解答 解：在△ABC中，∵S=$\frac{1}{2}$[c²-（a-b）²]=$\frac{1}{2}$（c²-a²-b²+2ab）
=$\frac{1}{2}$（2ab-2abcosC）=$\frac{1}{2}$absinC，
∴sinC+2cosC=2，
又∵sin²C+cos²C=1，
∴解得cosC=$\frac{3}{5}$或1（舍去），可得：cosC=$\frac{3}{5}$．
∵2sinAcosC=sinB，
∴2acosC=b，
∴2a×$\frac{3}{5}$=b，化為a=$\frac{5b}{6}$．
由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{（\frac{5b}{6}）^{2}+^{2}-{2}^{2}}{2×\frac{5b}{6}×b}$=$\frac{3}{5}$，解得b=$\frac{12}{5}$．
故選：C．

點評 本題考查了三角形面積計算公式、余弦定理正弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．