【題目】某商場進行有獎促銷活動,顧客購物每滿500元,可選擇返回50元現金或參加一次抽獎,抽獎規(guī)則如下:從1個裝有6個白球、4個紅球的箱子中任摸一球,摸到紅球就可獲得100元現金獎勵,假設顧客抽獎的結果相互獨立.
(Ⅰ)若顧客選擇參加一次抽獎,求他獲得100元現金獎勵的概率;
(Ⅱ)某顧客已購物1500元,作為商場經理,是希望顧客直接選擇返回150元現金,還是選擇參加3次抽獎?說明理由;
(Ⅲ)若顧客參加10次抽獎,則最有可能獲得多少現金獎勵?
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)商場經理希望顧客選擇參加次抽獎,理由見解析;(Ⅲ)元.
【解析】
試題(Ⅰ)先確定從裝有10個球的箱子中任摸一球的結果有10種,其中摸到紅球的結果有4種,因此根據古典概型概率求法得(Ⅱ)比較與3次抽獎的數學期望的大小,由于3次抽獎是相互獨立,所以可視為獨立重復試驗,其變量服從二項分布,由此可得數學期望為,即三次抽獎中可獲得的獎勵金額的均值為元.
(Ⅲ)求概率最大時對應的獎金:由于變量服從二項分布,所以作商得,,因此最大,即獲得400元的現金
試題解析:(Ⅰ)因為從裝有10個球的箱子中任摸一球的結果共有種,摸到紅球的結果共有種,所以顧客參加一次抽獎獲得100元現金獎勵的概率是
;
(Ⅱ)設表示顧客在三次抽獎中中獎的次數,由于顧客每次抽獎的結果是相互獨立的,則
,
所以.
由于顧客每中獎一次可獲得100元現金獎勵,因此該顧客在三次抽獎中可獲得的獎勵金額的均值為元.
由于顧客參加三次抽獎獲得現金獎勵的均值120元小于直接返現的150元,所以商場經理希望顧客參加抽獎;
(Ⅲ)設顧客參加10次抽獎摸中紅球的次數為.
由于顧客每次抽獎的結果是相互獨立的,則.
于是,恰好次中獎的概率為
,.
從而,,
當時,;
當時,,
則最大.
所以,最有可能獲得的現金獎勵為元.
于是,顧客參加10次抽獎,最有可能獲得400元的現金獎勵.
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【題目】(本題滿分18分,第(1)小題4分,第(2)小題5分,第(3)小題9分)
設函數的定義域為,值域為,如果存在函數,使得函數的值域仍是,那么稱是函數的一個等值域變換.
(1)判斷下列函數是不是函數的一個等值域變換?說明你的理由;
,;
,.
(2)設函數的定義域為,值域為,函數的定義域為,值域為,那么“”是否為“是的一個等值域變換”的一個必要條件?請說明理由;
(3)設的定義域為,已知是的一個等值域變換,且函數的定義域為,求實數的值.
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【題目】在直角坐標系中,曲線C的參數方程為(t為參數),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(1)求C的普通方程和的直角坐標方程;
(2)求C上的點到距離的最大值.
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【題目】如圖,已知動圓過點,且在軸上截得弦的長為4.
(1)求動圓圓心的軌跡的方程;
(2)已知,過點的直線交軌跡于,兩點,直線,分別與軌跡交于,兩點,設直線,的斜率分別為,,試問是否為定值?若是,求出此定值;若不是,請說明理由.
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【題目】已知橢圓的離心率,為橢圓的右焦點,,為橢圓的上、下頂點,且的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)動直線與橢圓交于,兩點,證明:在第一象限內存在定點,使得當直線與直線的斜率均存在時,其斜率之和是與無關的常數,并求出所有滿足條件的定點的坐標.
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【題目】我國著名數學家華羅庚先生曾說:數缺形時少直觀,形缺數時難入微,數形結合百般好,隔裂分家萬事休.在數學的學習和研究中,常用函數的圖象研究函數的性質,也常用函數的解析式來琢磨函數的圖象特征.如函數的圖象大致為( )
A.B.
C.D.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為(θ為參數),以原點為極點,x軸非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為.
(1)求曲線C1的極坐標方程以及曲線C2的直角坐標方程;
(2)若直線l:y=kx與曲線C1、曲線C2在第一象限交于P、Q,且|OQ|=|PQ|,點M的直角坐標為(1,0),求△PMQ的面積.
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【題目】如圖,OH分別為銳角△ABC的外心垂心,AD⊥BC于D,G為AH的中點點K在線段GH上,且滿足GK=HD,連結KO并延長交AB于點E.
(1) 證明:;
(2) 證明:.
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