Question

2．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為π，其圖象的一個對稱中心為$（\frac{π}{4}，0）$，將函數(shù)f（x）圖象上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移$\frac{π}{2}$個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；
（2）求實數(shù)a與正整數(shù)n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）內恰有2017個零點．

Answer 1

分析 （1）依題意，可求得ω=2，φ=$\frac{π}{2}$，利用三角函數(shù)的圖象變換可求得g（x）=sinx；
（2）依題意，F(xiàn)（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等價于關于x的方程a=-$\frac{cos2x}{sinx}$，x≠kπ（k∈Z）．問題轉化為研究直線y=a與曲線y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交點情況．通過其導數(shù)，分析即可求得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，
又曲線y=f（x）的一個對稱中心為（$\frac{π}{4}$，0），φ∈（0，π），
故f（$\frac{π}{4}$）=sin（2×$\frac{π}{4}$+φ）=0，得φ=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=cos2x．
將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得y=cosx的圖象，
再將y=cosx的圖象向右平移$\frac{π}{2}$π個單位長度后得到函數(shù)g（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）的圖象，
∴g（x）=sinx．
（2）∵F（x）=f（x）+ag（x）=cos2x+asinx=0，
∵sinx≠0，
∴a=-$\frac{cos2x}{sinx}$，
令h（x）=-$\frac{cos2x}{sinx}$=2sinx-$\frac{1}{sinx}$，
h′（x）=2cosx+$\frac{cosx}{si{n}^{2}x}$=$\frac{cosx（2si{n}^{2}x+1）}{si{n}^{2}x}$，
令h′（x）=0得x=$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$，
∴h（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調遞增，（$\frac{π}{2}$，π）與（π，$\frac{3π}{2}$）上單調遞減，（$\frac{3π}{2}$，2π）上單調遞增，
當a＜-1時，h（x）=a在（0，π）內有2個交點，在（π，2π）內無交點；
當-1＜a＜1時，h（x）=a在（0，π）內有2個交點，在（π，2π）內有2個交點；
當a＞1時，h（x）=a在（0，2π）有2解；
則a=1時，h（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，
而2017÷3=672…1，所以n=672×2+1=1345，
∴存在a=1，n=1345時，F(xiàn)（x）有2017個零點．

點評 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了轉化思想，屬于中檔題．