Question

7．在△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，O為三角形的外心，以線段OB，OC為鄰邊作平行四邊形，第四個頂點為D，再以O(shè)A，OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個頂點為H．
（1）設(shè)向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，試用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$表示$\overrightarrow{OH}$；
（2）用向量法證明：AH⊥BC；
（3）若△ABC的外接圓半徑為$\sqrt{2}$，求OH的長度．

Answer 1

分析 （1）運用向量加法的平行四邊形法則，即可得到所求；
（2）運用向量的減法和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，即可得證；
（3）運用正弦定理分別求得三角形ABC的三邊，再由余弦定理可得∠AOB，∠AOC，∠BOC，再由向量的平方即為模的平方，結(jié)合向量數(shù)量積的定義，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）由向量加法的平行四邊形法則，可得
$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OD}$，
由題意可得$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$，
即有$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$；
證明：（2）$\overrightarrow{AH}$=$\overrightarrow{OH}$-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$，
$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$，
則$\overrightarrow{AH}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）
=$\overrightarrow{OC}$²-$\overrightarrow{OB}$²=0，
可得AH⊥BC；
（3）在三角形ABC中，由正弦定理可得
$\frac{AB}{sin75°}$=$\frac{BC}{sin45°}$=$\frac{CA}{sin60°}$=2$\sqrt{2}$，
解得AB=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=1+$\sqrt{3}$，
BC=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
CA=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{6}$，
在△OBC中，OB=OC=$\sqrt{2}$，BC=2，
即有∠BOC=90°，
在△OAC中，OA=OC=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{6}$，
由余弦定理可得cos∠AOC=$\frac{2+2-6}{2×\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
可得∠AOC=120°，
在△OAB中，OA=OB=$\sqrt{2}$，AB=1+$\sqrt{3}$，
由余弦定理可得cos∠AOB=$\frac{2+2-（1+\sqrt{3}）^{2}}{2×\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
可得∠AOB=150°，
即有|$\overrightarrow{OH}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）^{2}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}+{\overrightarrow{OC}}^{2}+2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}}$
=$\sqrt{2+2+2+2×\sqrt{2}×\sqrt{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）+0+2×\sqrt{2}×\sqrt{2}×（-\frac{1}{2}）}$
=$\sqrt{3}$-1．

點評 本題考查向量的平行四邊形法則和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，以及向量數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．