Question

已知函數(shù)f（x）=1+

a

2x+1

(a∈R)．
（Ⅰ）是否存在實(shí)數(shù)a的值，使f（x）為奇函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；
（Ⅱ）若a=1，t（2^x+1）f（x）＞2^x-2對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）若存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)為R上的奇函數(shù)，則f（0）=0⇒1+

a

2

=0⇒a=-2，再用奇函數(shù)的定義證明；
若a=1，則f(x)=1+

1

2x+1

，因?yàn)?2x+1)f(x)=(2x+1)(1+

1

2x+1

)=2x+2，
（Ⅱ）由t（2^x+1）f（x）＞2^x-2對(duì)x∈R恒成立，得t（2^x+2）＞2^x-2，
由于2^x+2＞0，故t＞

2x-2

2x+2

=

(2x+2)-4

2x+2

=1-

4

2x+2

對(duì)x∈R恒成立，再求1-

4

2x+2

的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）若存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)為R上的奇函數(shù)，則f（0）=0⇒1+

a

2

=0⇒a=-2
下面證明a=-2時(shí)f(x)=1-

2

2x+1

是奇函數(shù)
∵f(-x)=1-

2

2-x+1

=1-

2•2x

1+2x

=

1-2x

1+2x

=

-(1+2x)+2

1+2x

=-1+

2

1+2x

=-f(x)
對(duì)定義域R上的每一個(gè)x都成立，
∴f（x）為R上的奇函數(shù)．
∴存在實(shí)數(shù)a=-2，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅱ）若a=1，則f(x)=1+

1

2x+1

，因?yàn)?2x+1)f(x)=(2x+1)(1+

1

2x+1

)=2x+2，
由t（2^x+1）f（x）＞2^x-2對(duì)x∈R恒成立，得t（2^x+2）＞2^x-2，
∵當(dāng)x∈R時(shí)，2^x+2＞0，
∴t＞

2x-2

2x+2

=

(2x+2)-4

2x+2

=1-

4

2x+2

對(duì)x∈R恒成立，
∵x∈R時(shí)，∴2^x+2＞2，∴0＜

1

2x+2

＜

1

2

，-2＜-

4

2x+2

＜0
∴1-

4

2x+2

＜1，
∴t≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的值域等問題，遇到函數(shù)恒成立的問題，常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．